Control:非线性系统复习笔记

This is an outline of SJTU course AU323 (Nonlinear Systems) taught by Professor Wang Lin. The final exam paper will consists of 7 questions.

描述函数法:

  • 定义+计算
  • 系统简化(描述信号输入与最终输出的关系)
  • 分析系统的稳定性(极限环,等幅振荡)

相平面法:

  • 绘制方法(等倾线法)
  • 线性系统的相平面(奇点类型,稳定性)
  • 非线性系统的相平面

描述函数法 Describing Function

Q1 求非线性环节的描述函数

  1. 刻画输入输出关系$n(t)$
  2. 积分求取描述函数$N(A)=(M_1/M)\angle \Phi_1=B_1/A+jA_1/A$。
    $$A_1={2\over T} \int_{-T/2}^{T/2}n(\omega t)cos\omega td(\omega t), B_1={2\over T} \int_{-T/2}^{T/2}n(\omega t)sin\omega td(\omega t)$$

Q2 根据框图简化系统

参考《自动控制理论与设计》P229、P230页例子

NOTE:简化时只要求保证非线性环节的输入输出不变,不关心整个系统的输入输出

Q3 由Nyquist图判断稳定性,自激振荡频率和条件?

简化的奈氏判据(假设G(s)在右半平面内无极点):

  • 若G(jw)包围-1/N(A),系统不稳定
  • 若G(jw)不包围-1/N(A),系统稳定
  • 若G(jw)与-1/N(A)相交,则系统存在等幅振荡,对应交点处的幅值和频率

相平面法 Phase Portrait

Q4 画二阶系统的相平面图

$$\ddot{x}+a\dot{x}+bx=0 → \ddot{x}+2\xi\omega \dot{x}+\omega^2x=0$$

  1. b < 0, 奇点为鞍点的情况
  2. b = 0, 奇线 $\dot{x}=0$的情况
  3. b < 0,$\xi>0$时稳定,$\xi<0$时不稳定
    • $\xi=0$, 中心点
    • $0<|\xi|<1$, 焦点
    • $|\xi|=1$,节点(一条渐近线)
    • $|\xi|>1$,节点(两条渐近线)

Q5 由相平面求响应时间

使用积分法求响应时间
$$\dot{x} = {dx \over dt} → dt={1\over \dot{x}}dx$$
$$t_{A→B}=\int_{X_A}^{X_B} {1\over \dot{x}}dx$$

Q6 求奇点类型

非线性系统 $\ddot{x} + f(x,\dot{x})$线性化的步骤:

  1. 由$\dot{x}=0$和 $f(x,\dot{x})=0$得到奇点。
  2. 在奇点处进行线性化,求奇点$(x_0,0)$处的$\partial f/\partial x$和$\partial f/\partial \dot{x}$。
  3. 得到奇点处线性化的系统:$\ddot{x}+(\partial f/\partial \dot{x})\dot{x}+(\partial f/\partial x)(x-x_0)$

Q7 非线性系统相平面法综合分析

一般以误差e为变量,根据非线性器件的输入、输出分段求取微分方程描述,再用等倾线法画出各区域的轨线。

Math Tip

  1. $sin^2x={1-cos2x \over 2}$
  2. $cos^2x={1+cos2x \over 2}$
  3. $(lnx)’=1/x$
  4. $(arcsinx)’=1/\sqrt{1-x^2}$
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